Интернет-олимпиада "Математический праздник". 7 класс.
Гриша написал в кружках различные цифры, а внутри каждого треугольника записал либо сумму, либо произведение цифр в его вершинах. Хулиган Вася заменил все цифры в кружочках на буквы. Какую цифру заменяет каждая буква?
тэги: математика категория: образование ответить комментировать 1 ответ: старые выше новые выше по рейтингу 5 Алекс-89 [173K] более месяца назад
На мой взгляд, целесообразнее начать рассуждения с числа 4, так как оно у нас самое маленькое из представленных трёх (4, 8 и 15). Как один из вариантов, можно сначала выдвинуть гипотезу о том, что число 4 является произведением ABD. Маленькое число — мало вариантов разложить его на натуральные множители.
Во-первых, теоретически могли бы быть следующие три комбинации:
A = 1, B = 2, D = 2 (№ 1);
A = 2, B = 1, D = 2 (№ 2);
A = 2, B = 2, D = 1 (№ 3).
Но ни одна из них не проходит. Почему? Во-первых, число 15 из треугольника BDC ни при одном раскладе (№ 1–3) не может быть суммой цифр, ибо 15 – 2 – 2 = 11, а 15 – 1 – 2 (= 15 – 2 – 1) = 12, но ни 11, ни 12 не являются цифрами! Это двузначные числа. С другой стороны, почему же 15 не может быть в данном случае и произведением? Да просто потому, что мы видим, что среди B и D есть как минимум одно число 2, но 15 не делится на 2. Должно разделиться нацело. А уж на 4 число 15 (см. № 1) тем более не делится без остатка!
Осталось рассмотреть ещё и такие комбинации:
A = 1, B = 1, D = 4 (№ 4);
A = 1, B = 4, D = 1 (№ 5);
A = 4, B = 1, D = 1 (№ 6).
И мы убедимся в том, что ни одна из этих новых трёх вновь не годится… В первых двух случаях C получается равным 15 – 1 – 4 (= 15 – 4 – 1) = 10, а в третьем случае C = 15 – 1 – 1 = 13. Числа 10 и 13 нам не годятся, так как это не цифры. А что с произведением? Тоже не получается! В первых двух случаях число 15 не делится на 4. В третьем случае хоть и делится нацело, но 15 : 1 : 1 = 15, а это не цифра.
Итак, я рассмотрел шесть комбинаций и для каждой из них мы поняли, что она нам не подходит из-за несовместимости с числом из треугольника BDC. Как мы убедились, ни в одном из шести раскладов, если мы выдвинули гипотезу о том, что 4 из треугольника ABD — это произведение, то 15 из BDC не может быть ни суммой, ни произведением каких-либо цифр…
А значит, число 4 из треугольника ABD является суммой.
Нам придётся рассмотреть все варианты для однозначных B и D так, чтобы их сумма не превысила 4 (ведь цифра A может быть нулём), отметая негодные.
То есть 0/0, 0/1, 0/2, 0/3, 0/4, 1/1, 1/2, 1/3, 2/2.
1) Для начала я отмету все комбинации с нулём. Нам не годится ни 0/0, ни ни 0/1, ни 0/2, ни 0/3, ни 0/4. Почему? В таком случае C никак не может получиться однозначным числом, учитывая то, что в данном пункте min(C) = 15 – 4 = 11, а max(C) = 15 – 0 = 15. С другой стороны, наличие нуля среди BD автоматически исключает любое произведение, отличное от нуля (а нам нужно 15).
2) Комбинацию 1/1 мы уже рассмотрели (№ 6). Она не проходит.
3) Комбинация 1/2 также рассмотрена (№ 2/№ 3). Не прошла!
4) Комбинация 2/2 тоже обсуждалась (№ 1). И она также была отброшена за негодностью.
На мой взгляд, осталось то, что нам нужно. Для BD у нас осталась комбинация 1/3.
Слева, в треугольнике ABD, у нас, как мы определили, сумма. Это автоматически даёт A = 4 – 1 – 3 = 0. Кстати, это говорит ещё и том, что число 8 из треугольника ADC гарантированно является суммой.
Может ли 15 из треугольника быть суммой? Понятно, что нет, ибо 15 – 1 – 3 = 11, а это не цифра. Значит, 15 является произведением. Это даёт нам цифру C. C = 15 : 1 : 3 = 5.
Осталось выяснить, как правильно: B = 1, D = 3 или же B = 3, D = 1?
В первом случае D равно трём. С равно пяти. Всё правильно с нижним треугольником: там у нас получилась сумма: A + D + C = 0 + 3 + 5 = 8.
Ну а во втором случае всё плохо: D равно единице, и внизу у нас получается сумма, равная шести. А там написано 8… Так что второй расклад нас совсем не устраивает.
Подводим итоги. По-моему, тут у нас единственное решение: A = 0, B = 1, C = 5, D = 3. При этом числа 4 и 8 на рисунке являются суммами (соответственно A + B + D и A + D + C); число же 15 является произведением BDC.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Источник: